我们即将跨入二十一世纪，在未来的新世纪中我国的数学教育必将会呈现新的面貌。然而新面貌不会自然产生，它需要我们理性的思考和积极的实践。数学教育改革中，历史的经验值得注意，有识之士的意见是宝贵的。

　　陈建功先生（1893—1971）是我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院士（原学部委员）。他的《二十世纪的数学教育》一文，发表于 1952 年 2 月的《中国数学杂志》（1953 年后该杂志改名为《数学通报》）第一卷第二期，当时正是新中国成立初期百废待兴的年代。在这篇文章中，作者怀着“切望我国的数学教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等学校的数学为核心”，对二十世纪数学教育的原则，以及数学教学内容的改革等重要问题，提出颇有见地的意见。重读陈先生的《二十世纪的数学教育》一文，对于迎接二十一世纪的数学教育十分有益。

　　近日文章发出后，有读者提出缺少参考文献，希望重新完善本文，于是经过编辑校对，将参考文献补足重新排版如下。

　　此地所说数学教育，以中等学校的数学为核心；关于高等学校方面的数学，和小学校的算术教育，不预备在此地有所详述。本文说数学教育，以二十世纪的数学教育为主，读了下文，自然明白。“他山之石，可以攻玉”，把外国的数学教育，罗罗嗦嗦说了许多的话。笔者切望着我国的数学教育有更一进步的革新。

　　数学在日常生活中已见其有其实用价值的；如土地改革运动中的分田量地问题，关于买卖、租税、保险、奖券的计算；酒瓶的容量，箱子的体积，都是数学的应用。不但如是，数学也是物质支配和社会组织之一武器，对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的。假如数学没有实用，它就不应该列入于教科之中。

　　然而仅仅乎实用原则，不足以支配整个的数学教育。数学具有特殊的方法和观念，组成有系统的体系。数学并不是公式的堆垒，其所用之方法，也具有教育上的价值。

　　断片的推理，不但见诸任何学科，也可从日常有条理的谈话得之。但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科。数学具有这样的教育价值，称之为论理的价值，是为说理的原则。假如把数学当做图形集成或公式采编看待，忽视其方法和构造，那未，对于自然支配、社会组织，不但不成为一种武器，有时且成为有害的东西──例如将数学机械的乱用，导出不合理的结果。忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀。

　　然则上述两原则足够决定数学教育的本质么？当然还不够条件。教材的内容，对于学生宜富于兴趣；枯燥无味的东西，决不能充作教材；于是乎有心理的原则。成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足。法国数学家H・庞加莱（Poincare）曾经说道：“有某教师在课室中，令学生们笔记‘圆周者，平面上于一定点等距离之点之轨迹也，’忠实的学生，记下来了；顽皮的学生，不但无兴趣去记，甚至写些别的不相干的东西。事实上，不论那一种学生，都尚未了解圆周为何物。后来，教师用粉笔作圆于黑板上，全班学生方才明白‘圆周原来是一个圆圈’。”科学家 A・爱因斯坦（Einstein）也说道：“学生仅管对于数学以外的事物，具有才能，对于数学可以朦昧无知。此种实情，其责任恐不能完全归之于学生，甚至可以完全可以归罪于教师。”吾人应该站在学生的立场；顺应学生的心理发展去教育学生，才能满足他们的真实感。某些教材，虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值，假使学生不发生任何真实感，就心理的原则而言，这些教材，简值是没有教育的价值。

　　三原则之统一上述三原则应该综合统一而不应该对立。然则统一之关键何在? 是必须先就学生生活的环境中，使其易于接触易于理解且有实用价值的事物出发，以向论理的途径进行。所以心理性和实用性应该是论理性的向导，选择教材不应该先将实用性和论理性分别采取，然后合拢；这样勉强凑成的教材，是支离破裂的。把数学的观念和方法运用于实际应用问题时，理论上的疑问，自然油然而生；岂可以预先制成生硬的数学理论，强求适合于实用！

　　数学和其他的学科, 并没有什么大不相同的地方，因为他常常伴着生产力、技术发展开来的。对于古代数学的发生，恩格斯 (Engels) 曾经说过:“季节的知识老早对于农业种族或游牧民族，已经绝对需要。天文学没有数学的帮助，是无从发展起来的。所以在这‘古代 ，已经有了数学。农业发达到某阶段，因灌溉法之改进、都市之发达、航海的需要，力学跟着发生，力学没有数学的帮助，无由长足进展。”此不独在数学的诞生期为然，无论在什么时代，数学常常伴着自然科学技术、社会科学发展而发展。

　　数学教育家能（Nunn）说的：“数学的真理具有两面。其一面的数学真理，向时（间）空（间）的实在世界进展而与之接触。还有一面的数学真理，在数学的内部，相互对应，保持联系。数学史就是把这两面真理的不断的发展，叙述其经过情形。这两面的发展，并非互相独立，此未曾离彼，彼变未曾离此。今后的数学恐也是这样，两面不曾分道扬镳，各自存在。所以数学教育，应该使学生认清数学的发展，具有上述两重意义。数学是物质的征服和社会的组织之一武器，同时是一有秩序的论理体系。”

　　统一了上述三原则，以调和的精神，选择教材，决定教法，实践的过程，称之为数学教育。

　　数学教育并不是一种幻想，乃是实践。数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形式，自然具有历史性。就欧洲而言，其在奴隶社会制的古代希腊，支配阶级鄙视实践的计算术，和直觉的实践几何；重视他们所谓“和行动没有关系的真科学”──就是数论──和“抽象的”几何学，岂不是太偏重于论理性！在中世纪封建社会，教育为个人所支配，数学教育成为宗教的奴隶。事实上，此时数学教育，偏重于低级的实用性──与生产和科学脱离的宗教上的实用性。文艺复兴而后，工商业加速度的进展；生产力之发展，促成自然科学的发达，因此发生机械论的唯物论。所以十七、十八世纪的数学教育，自然强调实用性。经过法兰西大革命，巴黎成为欧洲文化的中心，因时代的要求，“一般陶冶”的话头，逐渐流行；中等教育不能专为牧师（神学）和律师（法学）的预备教育，重视所谓“一般陶冶”。其特色是将数学和近世语添入教科之中。

　　数学占了普遍教育的一科，是从十八世纪开始的，所以严格的说：数学教育萌芽于十八世纪。但是，数学教授的内容，大部分是“理论数学”；应用方面的数学，意识的为所排斥。究其实际，他的内容也是限于希腊时代至十七世纪间的数学；这个状态一直延长到十九世纪之末。十九世纪的数学，虽然非常进展，然而它并没有促成数学教育的改进，因此，十九世纪的数学教育，和近代的科学（十九世纪的科学），社会的生活，几乎没有关系。相反地，因入学考试的准则和其他种种考试的准则，数学难题的教授，和脱离实际的理论，成了数学教材的核心。事实上，当时所采用的几何学课本，就是欧几里得（1）几何原本最初数章；代数学和三角法，是将专门的材料，压缩而成的，太古太多，脱离实际需要。当时的物理化学等自然科学等教材，已能推陈出新；然而保守的数学，不改旧态。

　　到了十九世纪之末，近代科学的急速发达和各国产业的进展，经济的、社会的、思想的，给人们的生活状态以重大的变动。无产阶级的解放运动，从而开始了中等教育的内容，不能不有所更变。

　　保守的英国，她的几何学教本，一直沿用欧几里得的几何原本。教师们视“原本”如“圣书”，不硕苟且改变其一字一句；不但学生觉得干燥无味，教师也觉得痛苦非常；改良之声渐起，到了1870，组织了“几何学教授改良协会”（2），制定几何学要目。其结果，不过是一种微温的刷新；这也无怪其然，因为他们（协会会员）主张要不失原本精神和体裁，制定原本最初六卷的要目。他们最大的难题是“如何改造原本第五卷的比例论”──比例论是原本中最壮丽的部分。尼克宋的“改良欧几里得”（3）一书，在中国颇有流传，就是依“协会”的精神写成的几何学。

　　此协会到了1897 年，改名为“英国数学协会”，以 The Mathematical Gazette做他的机关杂志，登载关于教学教育的种种事情。

　　数学教育改革的首创者，应该说是英国的J. 彼利（J.Perry 1850—1920）。彼利幼时做过学徒（1864—68），锻冶工场的工人（1868—70），苦学的当中，曾经旁听汤姆生的讲义（4）。彼利体验了劳动者的生活，努力于劳动者智识之增进；后来做了伦敦国际理学院力学及数学的教授，于 1901 年在英国科学协会，作启蒙的改造讲演。彼利主张的精神，是在数学的实践性，不光是说些教授的技巧。他对于数学的见解，并不是将抽象的数学理论，如何应用于自然现象或社会现象的说明；相反地，从自然现象或社会现象，由实践发见数学的法则，这是彼利所说的数学。上述彼利 1901 的讲演，在数学教育史中，是划时代的。其讲演纲要及其检讨，可以看彼利所著的书：

　　（一）几何学的实验和实测应该是证明的前提，然而也可以稍稍利用演绎法完成其说明。

　　彼利的改革运动，影响及于国际数学教育。但是，法国在彼利运动以前，代数与几何，已经有融合教授的倾向，所以受彼利运动的刺激，不太利害。不但如是，法国十九世纪出版的几何书，如A．M．Legendre 的 Elements de Geometric（其第十二版在 1923 发行），其内容已经和“原本”大不相同，又如鲁雪（5）和康勃露色（6）合著的初等几何学（7），一直到现在，还不失为一部很好的书。但是，法国数学教育，并非毫无问题；对于考试制度的预备教育，大有使中等教育专门化的倾向。彼利讲演的第二年──1902──法国政府将中等教育制度全部革新。数学教育因此大加改良，将日常生活有关系的部分增多，又将高深的部分平易化，重视直视的几何和函数的概念。巴黎大学的数学教授 E. 波雷尔（8），依照这个趣旨，编了一套出色的教科书；算术、代数、几何、三角，都在 1903 年出版。波雷尔报告法国中学生用了波雷尔的教科书，兴味大增，成绩极优。这一套教科书有德文和日文的译本。

　　法国1902 的学制改革和英国 1901 彼利时期的讲演，自然冲动了德国学界。德国的硕学──几何学大家──克莱茵（9）不以大学教员不与闻中等教育为然，曾于 1904 年在自然科学会议席上，作一次讲演表题“对于中学数学和中学物理的注意”。克莱茵又作成文科中学的教授要目，于 1904 至 1905 在哥廷根大学作长期的讲演，说明他的课程方案。这是德国新主义数学的原动力。德国中学教师，1905 年在梅兰（Meran）举行数学物理教授协会，作成教材要目大纲──梅兰要目。这个梅兰要目，就是以克莱茵的方案做骨子的，较诸说克莱茵原案，虽然稍为温和，然而比较过去的情形，已经出色，现在将其要点，写在下面：

　　（三）不过于重视数学的“形式陶冶”，“应该置重心于应用方面”，养成“用数学的方法去观察自然现象和社会现象”的能力；

　　（四）要达到这个目的，必须以“函数观念”和“直观几何”做数学教授的骨子。

　　这部书（10）将平面几何学、代数学、三角法、立体几何学、微分和积分、解析几何学、近世几何学，融为一体，呵成一气，以供九年制中学之用。德国儿童，满九岁入中学，中学的种类有四，五；他的数学时数，大约每周自4 时到 6 时。

　　欧洲的数学教育改造运动，对于美国，没有受到强烈的刺激，其原因之一是：美国学校，老早不用欧几里得的原本，法国的几何教科书，着实通行。还有一个原因是：美国的考试制度，比较英国要宽松些，压迫不太历害，对于“考试”制度的斗争也不会激烈。但是，芝加哥大学教授慕尔，对于彼利的主张，不但拥护，并且指出美国的数学教育，大有缺点。1902 年慕尔在美国数学年会，发表他的会长讲演，题目是 [数学之基础]，他的后半段是关于数学教育的；他说：

　　（一）代数、几何、物理，可否不使他们一一孤立，编成“有机的统一”呢？统一而后，才能使数学物理和日常生活有密切的关系；

　　（二）三角法、解析几何、微积分三分科，就其起源说，又就其发展的经路说，都是和具体的现象有密切关系；所以应该把这三科的基本事项组织起来，使他们有密切关系，不应该让他们各自分立门户的；

　　慕尔教授的讲演，对于美国数学教育，有极大的影响；依照（一）的精神著成的书

　　然则彼利，克莱茵，慕尔的数学教育改造运动的基本精神究在何处呢？基本精神是在教材教法的近代化、心理化；实行数学各科的有机统一；理论和实践的统一。结局在求数学教育基本三原则的彻底统一。详见下列诸著作：

　　彼利的改造论，并非狭义的卑俗的实用主义；此事已述于上文。慕尔也说：“数学教育的根本问题是如何融合理论（基本）数学和应用数学，但是不幸得很，在初等数学范围内，还保留着理论和应用的划界分疆”。改造论者主张自然科学和工程科学中所必需的“高等数学”，应该把他平易化，这似乎有点轻视数学的“”；然而这是似是而非的见解，因为数学的内容和形式，决不可以分解为二的。为什么呢？假如形式可以脱离内容而存在，这就是意味着数学是为形式而形式了。克来茵说得好；“现在吾人所宜努力的事，并不是追求两极端──和实利主义──取其一端而舍其他端，乃是融合两者成为一体”。

　　我们仅仅乎教授这些现实的生活上所要求的数学知识，这不能算尽了数学工作者的职，我们必须生动的指导学生，使学生们能够利用数学知识于现实问题。要使理论和实践，保持生动的关系，必须从现实自身，由实践学习得数学知识。彼利说：“教儿童推理一件事体以前，必先使他实行这件事体，儿童从测量、计算、实验，所得的结果，才能养成他的推动力。并且因此儿童沾沾自喜他的生动的创造”。这是彼利实用数学的本质。彼利著有“初等实用数学”一书：Elementary Practical Mathematics(1913),新宫恒次郎于1929 年译成日文，小仓金之助做了一篇序文，序文的未尾说道：“美国的数学教科书，号称心理的、社会的、实用的、教授法的、最进步的，但是资本主义的和事务式的美国主义的反映，到处找得出。诸君若要一本具有无产阶级实践性的强有力的数学书，我就推荐这本书。这本书可能在某些意义上是未成品，但是它期待着有光辉的未来”。彼利强调“从前的数学教材的排列，‘学者’或许认为是论理的；但是对于儿童，这些东西，完全是非论理的；儿童所能接受的论理，必须通过实验、实测、图解……。”

　　从“线”方程，“平方”方程，“立方”方程，和a 的平方，a 的立方这些用语来看，古时代数和几何未曾分离。事实上，欧几里得原本十三卷中，有三卷是算术；牛顿全集中的数学和物理融会贯通。后来许多学者，觉着数学诸分科，各有各的特殊方法，把各科纯论理的展开，颇有兴趣，方司岛说（12）把近世几何学从解析向何学分解出来，是其一例。数学不光是在学术上分了科，在数学教授上算术、代数学、几何学、三角法、解析几何学，各自陷于孤立的局面。然而在科学的研究当中，用数学做武器的时候，往往需要各科全般的知识，假如预先有了有机的统一，那就方便多了。综合的数学，不但可以避免重复，学习既省时间；并且可以使学生明白生动的数学体系。代数学中不用几何，几何学中不用代数、三角，如是严立门户，究有何益！然则统一各分科而成综合的数学，应该用什么东西做原则呢？改造论者，大都用函数的概念做统一的原则。克莱茵说：“在几何学形式的函数概念（31），是数学教育的魂魄。”又说：“以函数概念做中心，将它周围的一切数学教材，有计划的集中，就得着综合的数学。”现在把克莱茵自己作成的中学课程表的一部分，写在下面，下列三项，是德国儿童十三岁到十四岁（一年间）所应该学习的教材：

　　（一）直角坐标和简单函数的曲线表示──用格子纸；须注意此种曲线的全程，上坡下坡，围绕的面积等事；

　　（二）用函数概念做骨子，教授下列诸事项。──幂及根，一次及二次方程，圆锥曲线的初步，关于圆的计算，三角形的边角关系；

　　数学教育，经彼利、克莱茵、慕尔的指导和进步的数学教师的努力，改造运动已成为国际问题。第四次举国际数学大会（14）于1908 年在罗马举行的时候，决定设置国际数学教科调查会，克莱茵等三人做常务理事，利用法国的L‘Enseignement Mathematique做机关杂志。1912 年，国际数学会在英国剑桥大学举行第五次大会，有二十七国的代表，提出各地数学教育状况报告书一百五十种，大部分已印刷发行，成为数学教育史上莫大的文献。第五次会的会长是克莱茵，克莱茵的德国报告书Abhandlungenüber den mathematischen Untersicht in Dentschland, 在150份 报告书中，最为详细。调查会的工作因战争而中止。150 份的报告书，不易卒读，叙述他的大纲的，有在 150 报告书中，最为详细。调查会的工作因战争而中止。150 份的报告书，不易卒读，叙述他的大纲的，有

　　各国数学教育的进展，因国情不同，色彩也不一致；然而改造的基调，可以说是各国完全相同。自然，改造的实际方案，不能如指导者彼利、克莱茵、慕尔所示，一一顺利进行。这是因为数学教育，以过去的“遗产”做基本；要脱离传统，成新鲜的组织，困难重重。比方说要把代数和几何融合，也不是容易的事。

　　数学教育，和其他学科的教育一样，是受社会状势的限制的。因大战而起的经济的、社会的、政治的的激动，直接或间接，对于数学教育，有莫大的影响。关于第一次大战后，各国数学教育的一般状况的参考资料，有国际数学教科调查会的报告，报告书有英文法文两种：英文的是Significant changes and trends in the teaching of mathematics through the world since 1910(数学教员会 1929 的年会)，法文的载在1929-1933 的杂志：Enseignement Mathematique.

　　大战中以及战后的数学教育，是混乱得很的。有些国家的教育，停滞不进；有些国家反而后退，“古气”蒸腾；有些国家，因经济的顺调进展，数学教育也得着顺利进行。先说后退的。

　　意国在战前，也伴着国际改造运动，有进步的倾向。其后，国家因社会的，经济的不安，酿成法西斯政治。到了1923 年，中等教育的目的和学制，有重大的变更。规定中等教育“以养成态度为目的”，作为中学教科的全部，法西斯脱所谓在文学的、哲学的、历史的立场──“国粹的”立场（15）──宣告统一了。这样一来，中等教育不必讲究实用，也不必准备做高等的研究了。教育的方针既然如是；自然科学和数学的学习和教授时数必然的削减了，详见下表。

　　高级中学的毕业考试；数学科目是代数学、几何和三角法。此外还有高级理科中学，其毕业考试，添加直角坐标和函数与图表，大战前的教材，也有直观的、实验的、实用的部分；1923 的学制将这些东西，完全废弃，而变成形式的、抽象的、纯论理的东西了。意大利的教育部，并不公布中学校的课程要目，全部（中学毕业考试等）都是国家考试；“因国家考试的要目，有严格的规定，从页中学课程跟着考试要目也有一定的内容了。用极少的时间数，来定数学课程，只有两条路可以走：第一法：把数学程度降低。第二法：仅言纲领，把他变成骨瘦如柴的东西。意大利事实上实行了第二法。但是，以极少的时间简洁的通过数学的全程，不可能和彼利、克来茵的改造论相容。为什么？用实验实测来发现新的事实，不但需要时间、并且与”古典的精神“（16）不能一致。此时几何学家旁比阿尼（Bompiani）做教育部长，他索性把中等数学彻底变成了公理主义的数学。现在且看他的内容。某代数学教科书（7）第一卷劈头写着：

　　这样，从抽象的、纯论理的立场出发，不容易指到事实问题了。利用方程式解决事实问题，一直到十六岁才学到，十八九岁才学到对数。第二卷供高中用，先写些一次方程，一次不等式，接着写了一章实数，用“戴德金（Dedekind）分割”导入无理数，经过复素数的定义和根数的计算，然后讲到二次方程！把

　　的存在，严密的证明了。一部代数学，供八年的用，其中应用问题，不过32 页；图表法和一次二次式的变化写成一篇附录（16 页）。到了 1932，又有一部代数学书（18）出来了，他简直把函数的变化和图表，全部除去，倒也干净。

　　几何书也依这个精神写成的。本来，意大利几何学教科书的着重严密性是有名的，罕与伦比的。其后因改造潮流，也稍事革新，1923 以后，又有复原的倾向。严密是好的，但是骨瘦如柴的严肃是有害的。意大利几何教科书（19），尽管最密，但是因为忽视了实验、实测、直观，不能不说是他逆转的、反动化的书。最可惊异的是：面积等事，不容许用“数计算”，光是说些几何学证明；一直到了书的未尾，才发现古色古香的比例论（欧几里得式的），把比例论和代数的无理论严密的统一了，从此才可用代数的计算应用到几何学的量上面去，但是书已快完毕了。

　　第一次大战后的德国，经济极度困难，要挽救这个困难，非采取产业和经济切实有效的教育方针不可。所谓作业主义，就是顺应时势的数学教育方针。作业主义，第一要学生自动去做实验实测；所以测量、画法几何、绘地圆等事，特别注重。普鲁士于1925 改革学制，仍以梅兰要目做根底，参以作业主义，教育部令说道：“利用作业，使学生获得确实的知识和明了的理解。通过作业教育期待教学的彻底……。”教育部同时又高调所谓集中主义（20），他说：“置重心于数学发达史，重视数学和其他一般文化，哲学的关系。”这样一来，对于克莱茵的“以在几何形式的函数概念统一一切数学教材”的根本思想，不能不稍事退却。依据 1925 新学制普鲁士的文科中学（21）最后四年的课程，每年都有“几何画法及测定”一科，可见作业主义的重要，他的内容如下：

　　第四级：作圆器具的用法，简单平面圆形。正多体体，角锥，角锥的作图。线，线分的测定，角的测定。

　　第三下级：点的射影，线分的射影，三角形的射影。平面的等高线及其最大倾斜线，直线的倾斜角，平面的倾斜角，两平面的交线，多角锥。

　　第二下级：普通立体的表示，代数曲线的描写，（圆周等）近似作圆。精密度的测定，用相似论测定面积。

　　到了纳粹（Nazi）时代，状况又大变；高调所谓德国固有的数学精神，排斥“拉丁”式的和“犹太”式的数学，这方面的指导者，有柏林大学教授比巴霸赫（22）；他说：犹太人和拉丁民族喜欢纯论理的和抽象的东西，德国民族着重具体的东西。他的这些议论，多歪曲事实，比方，抽象代数学的大家多是德国人，画法几何学的创造者，是拉丁民族的蒙籍（23）。用这种见解来拥护所谓德国的“国粹”精神，根本不起作用，简直毫无意义。另一面，比巴霸赫非常推尊地老师克莱茵，说道：“在克莱茵的立场，考察日尔曼民放大的将来，实具有深长的意义。……克莱茵的改造方案，是最适应于德国民族特征的心理和性格。”到了 1934 年九月，借克莱茵的──过去的──盛名，决议了数学教育的新方针：

　　这种政策是否光是为了发挥德国的国民性呢？只要凝视当时德国政治和经济情况，就不难知其底细。

　　英国民族，他的自由主义和民主主义的根底相当深；或许为了这个缘故，使他的数学教育光是维持原状，进步的倾向极其缓慢。进步不速的原因很多，反对改造论革新者的存在，是一个重要的因素。对于1901 彼利的政治讲演反对最烈的，就是当时的会长（24），会长是皇家学会会员，他的话当然有相当的力量。现在将英国某中学学校的数学课程，写在下面：

　　第一次大战后，法国数学教育有保守的倾向；事实上，1925 年保守内阁教育部所颁布的学制中，导入“科学平等”的原理，中学校（25）不分文科理科；其理由如下：“在现在的情况，培养‘完全人’──就是科学的教养和文学的教养保持平衡的，几何学的精神和纤细的精神的统一了的人──愈加必要了。”其结果把数学的时数，改变得像下面的式样：

　　这是初等学科的课程；高等科分“哲学级”和“数学级”，前者每周教授数学两小时，课程是含有微积分的代数和天文学；数学级每周数学教授时数，课目如下：含有微积分的代数，近世几何，解析几何，三角法，画法几何。

　　教材要目，新制和旧制，虽然大致相同，然而精简了一些，并且将微积分移到后面去了。

　　要实行新学制，必须选取文理共通的教材和教法；教育部强调：“中学教育以简单明了为主，并不要求专门的知识。须置重点于精神的涵养（formation delesprit）”

　　文科数学时间的增加和理科数学时间的减少，意味着实用的，科学的精神为传统的文化的精神所压迫。当时数学兼政治家潘乐卫（26）和波雷尔都公表反对的意见──反对教育部的新学制。法国中学教师向国际数学教科调查会报告说：“新学制简直没有顾到实情”。

　　第一次大战，美国得着渔翁之利，经济宽裕，教育也能够向“改造的方向”进展。美国各州，教育制度并不相同，中央政府也不求其统一。1916 年，组织了一个有权威的国际“全美数学教育委员会”（27）。这个委员会，由十三名委员组织而成，其中含有数学家六名（28），教育实际家七名。1923 年二月出了第一期报告书，表题“中等教育中数学之改造”。（29）这个报告书分两部分；第一部分：一般原理及主张，第二部分：特种特殊问题的研究。其中所说的一般原理的大意如下。“吾人要有洞察和支配吾人周围的自然和社会的力量，要有以种种角度估计文化进步的力量，所以必先培养思想和行动上的习惯使有效的涵养这种力量。数学教育的第一目的是在养成分析和理解“量”和“空间”的关系的能力──对于涵养上述的力量所不可缺的能力。所以关于养成这种能力没有直接帮助的事项、方法、练习，必须排斥于课程之外。光是简化计算或玩弄计算的技巧，都是不重要的事项。用具体的事实，实际的问题抓住数的观念、方法、原理，是对于数学课程全部，是重要的，应该用力的。”然则数学教育，如何统一呢？报告书上写着：“统一数学课程最切要的事项是函数观念。……教师应将这个观念不断的放在心中，……逐步引导学生，使他们得着函数性的一般观念。”

　　美国中学，下级三年，上级三年（30）。数学和几何两科有不平行教授的习惯，但是委员会希望实行综合主义，制成教材配置方案教程，列表如下：

　　第十二年的数学，四案相同。所谓选科目，遇必要时，选择下列诸科之一：投资数学，商业数学，测量及航海术，画法几何。微积分以应用为主，不需要解析几何学形式的研究，所以表上无解析几何一科。

　　美国的数学教育，从上文看来虽然向着改造主义进行，但是具有浓厚的实用主义色彩，且有心理化倾向。美国数学教育的心理化的原因，不能不归之于1910 年左右，关于形式陶冶的论争。什么是形式陶冶？脱离了所学习的内容而遗留下来的精神效果，称为形式陶冶。比方学习数学，不问所学过的数学内容是什么，觉得还有什么东西留下来的，这个效果是学习数学的形式陶冶。数学的形式陶冶，自古以来，一向重视；以为学习数学，可使思想精密，推理周到。但是，到了二十世纪，怀疑者出，于是发生了“形式陶冶的问题”。对于这个问题，研究者辈出，但是仍旧不能完全解决；有的否认数学教育的形式陶冶，（31）有的觉着完全否认是不对的。（32）于是乎对于数学教育的价值，也有发生疑问的。例如哥伦比亚大学教育学教授司内屯（33）竟这样说：“中学校数学，应该作为随意科，因为数学不是人人所必需的缘故”。他又说：“消费者的数学（34）──算术的一部分──自然人人所必需不可以省略，但是中学校的代数和几何，（35）未必人人所必需，不必作为正科，应改为随意科。至于数学的陶冶价值，几乎无穷小”。但是，假如数学光是有关于日常生活的部分就足够的话，那末，小学算术也嫌过多。另外一位哥伦比亚大学教授就是 D.E. 司密司，却是拥护数学教育的。他说：“教育家中，要驱逐代数学于中学校外的，大有其人；但是，这些破坏主义的煽动家根本是反动的，现在已经没有力量了”。此语见诸“司密司著，锅岛信太郎译（日文）的代数教授之进步（1925）”一书，书中又说：“二十五年前的数学教育，其目的，好像在养成数学家，现在的目的，在培养有良好教养的美国市民”。

　　我们于此可以断言：美国数学教育的特色，是在培养“小市民性”。美国的数学教科书，是富于小市民的实用性和学习心理的色彩。所以美国没有一本数学教科书是数学专门的人写的，著者大多是教育工作者或是心理学者。

　　日本从明治开始，（37）事事模仿欧洲各国，不管好的歹的，一齐搬进，不十分加工，号称明治维新。明治维新的根本课题是“日本将如何追着‘先进’诸国”？为了要解决这个问题，日本政府集中力量，急速趋向资本主义。一面，日本的社会机构中，含有大量的封建残滓；经济的社会的政治的状势反映到文化和教育。日本的“移植科学”富于模仿性的缘故，自然不能够顺利进行，为民服务，时常有进退维谷的现象。数学教育当然也不在例外，一时进，一时退，成波动的现象。例如在1886（明治十九年）的学制，中学一年级有“几何学初步”一科，用直观导入几何概念，所用的书是法国式的；到了 1902 年，改变学制把“几何学初步”取消，几何学从中学三年级起才开始教授。所用的书是以菊池大麓著的初等几何学教科书。菊池大麓是日本最初的英国留学生，留英五年；所以他的几何学书是纯粹查式的英国式的书（当然是日本文的）。这个变更是日本数学教育的逆转，退步。1902 是国际改造运动开始的时候，日本人置之不理。

　　1902 日本已的中学新学制；其数学要目是以菊池大麓和藤泽利喜太郎两人的意见做根底。两人都是大学教授，菊池且做过大学总长（就是校长）文部大臣（教育部长），1902 年已经封了男爵；腾泽是东京大学的有力分子（后来任贵族院议员）；日本人富于封建思想，菊池藤泽的一切意见，当然通行无阻。由是，1902 的学制对于世界大势是开倒车的；他注重分科主义，偏重论理性；他不容纳直观主义，实验和实测；不着重函数概念；将算术、代数、几何三者严格的分开，不许融合。

　　但是，二十世纪的数学教育改造的潮流，奔腾澎湃，急速的流入日本。中学教师组成了中学数学教育会，发行杂志，研讨数学教育。政府也受到刺激，发表了种种琐碎的改造案。国家的经济，受到第一次大战的“恩惠”，宽裕得很。但是，一直到1930 为止。所得的实绩，不过是微温的改造。这是因为制造改造案的专家和实施改造案的教师都是受了旧式的──分科主义的，偏重论理的──教育，飞越起来，要他们彻底革新，他们会头痛的。

　　日本实行1902 的要目经过了三十年，1931 改革学制数学教育方才获得真的改造他的纲领是：

　　日本学制，小学六年，中学五年，高等和大学六年或七年，今将1931 的规程中的中学数学时数写在下面；

　　这个方案，着实进步，因为有时间的活动性使教材有伸缩的余地。但是，不进步的教师，往往要用这个时间的活动性；以为有机可乘，添入难问题，作入学考试的准备，补充旧式的教材，将整个数学还原到干燥的东西。小仓金之助于1936 四月某日利用无线 的新规程，是极不彻底的一种似是而非的自由主义。教师可能在中学前三年，将基本教材全部告成。教育部有‘补充’一项，不明示补充的内容。教师们可能集中势力，在四五年级补充，努力于入学考试的准备，现实的学校是如此的。实际上，四五年级教科书中的问题，对于数学专门以外的人们，毫无用处，就是对于数学家自己，也是价值极低的东西。谈到入学（高等学校入学）（58）考试问题呢，大概和日常生活，自然和社会的理解，没有关系。公平立论，对于这种入学考试问题失败了的学生，仍不失为健全知识阶级的日本人；相反地，考取了的，也不过是考试所囚起来的人。中学校的上四五年级，是“入学考试职工养成所”；假如高等学校的入学考试无数学一科，数学科的存在都要发生问题了。教育部应该从速改订教授要目。……”

　　1945 年冬，笔者到了台湾，看到日本文部省编的一套中学数学教科书，完全采取融合主义，置重心于函数概念，面目一新，而且知道那个时候，东京方面已将算术、代数、几何、三角、解析几何，微积分呵成一气，书也出来了。但是书没有到台湾。

　　今年夏，笔者到北京参加课程改革会议，苏联教育专家作了很长的讲演给我们听，他说：“规定课程，改革课程是一件难事。苏联从1917 到 1939，课程屡有更变。”希望我国以苏联为鉴少走迂回的道路，苏联的普通教育制度，从 1934 学制改革以后，无大变化；至于中学，在 1939 年的党大会，才决定“于都市设立十年制的中学，于农村及民族共和国以七年制的准中学校做基础”。十年制中学设立以前，相当于中等学校的，有“单一劳动学校的第二科”。这种学校的目的，一面是普通教育的继续；一面是完成普通教育，建设唯物论世界观的充分坚固的基础。因此，重视

　　事实上，课程中的数学、物理、化学、博物时间数的合超过总时间数的三分之一。其中数学时数，分配如下：

　　（二）直线，线分，测定，米达法，经验事实的图表。测定误差的估计，近似计算。

　　（五）指数，平方根及其几何学的意义，立方体等体积公式，三角锥的表面积和体积。

　　（七）一元一次方程（数字系数）：之实测，圆周公式，圆面积公式，圆锥的面积和体积，三角形（已知三边）的作图。

　　光是看了这个摘要，可以知道他是倾向于改造论的。再细察他的第九年的教授要目，“更可以明了他的精神所在”。

　　大致和德国的教授方案相类似，但是第九年的（三）这一项，的确是特色。但是苏联十月革命后十余年间的数学教育方针，和彼利及克莱茵的思想，未必一致。上述教授要目的说明：“数学在教育上的地位，可以简单的规定如下：数学对于学生，是实际上必要的学科。在学校；在后来的生活──不管什么职业──有他的必要性的缘故，是一个不可不与之相观的工具”。因功利上的目的，实际的必要，而承认数学在教科中的地位。但是高利曼（39）不以为然，说道：“这样，自然把数学开倒车一直达到阿尔基米特斯；但是，这些努力，和辩证法的唯物论，没有任何共通点”。用同样的意义，摩洛铎西（40）对于数学研究的全般下了批判（1933）：“人们往往这样主张，数学的发展，其目的在满足今日社会主义建设的需要；将可以满足这个要求的数学诸分科发展起来就好了。但是这种主张是不对的，当然，计划数学的发展，必须把实践需要的满足和社会主义建设的展望放在心上。

　　但是要进到这个目的，仅仅乎将若干的分科片面的发展，是要失败的，一定要把‘全数学’计划的发展，然后可能。”

　　十年制的中学教科书，1949 发行的，吉西略夫（41）著的，已经由东北人民政府译成中文。

　　二十世纪初叶，中国才订了学制；学制是“削足适履”式的日本制度。中学的数学课程，形式上和日本的无大差别。教科书也有许多译自日本的──（42）比方前述菊池的几何学。（43）国际改造潮流一时冲不进日本，中国更不消说，一直到解放前夕，旧式的数学教育，未曾动摇。中途摹仿美国；美国的教科书，盛行起来了。有些学校简直用英文原本，中学教科书用外国文，当然是限于殖民地或半殖民地的，且所用的原本，往往在其本国已经早停止使用──例如“范氏大代数”。因此，数学教育，不但成绩不良，且其目的也不明了。学生视数学如仇敌，成了中等教育上一个大问题。

　　解放以后，中央教育部成立不久，就召开全国教育工作者会义；1950 年，又召开精简座谈会，大家同意这样的原则（包括数，理，化）：

　　这是创举，值得庆祝的，但是，笔者愚见，还有几句话要补充。（乙）项的保持各科的完整性、系统性，是含有分科主义的精神。国际中等教科改造的倾向，不但融合数学的各分科，并且要融合物理、化学、博物诸科。事实上，日本在第二次战争结束前，已将中学的理化博物融合成一科了──理科。编著教科书，是由于集合许多专家，会议作成的。苏联的教科书，虽然还没有整个的融合，但是日新月异，向融合的方向进行。总而言之，（乙）项的第二段，规定的太呆板了。失去了进步的倾向。同样，数学的第（三）项的规定，应该是暂时性的。吉西略夫的高中代数学中，函数与图表，着重得很，这不是代数学和解析几何的融合么？不过以代数为主体就是了。又关于第（一）项，细察精简纲要（草案），看不出什么地方有（一）的精神，例如初中几何、高中立体几何、高中代数、高中平面三角法、高中解析几何诸科的精简纲要，不过将美国的几本书──三S 几何、范氏代数、葛氏三角、三氏解析几何──简化了一下。要他具有（一）的精神，是不可能的。话说回来；这是数学教育具有生气的开端，当然是温和的，不能希望他有太多的结果。

　　处这个大时代，要过有意义的生活，做有意义的工作，必先具有理解自然和洞察社会的能力。所以必须养成对于这种能力有效果的“思想和行动的习惯”，这就是教育。数学教育呢？学了数学，要使能够分析和理解这种思想和行动的习惯上所不可缺的“数量与空间的关系”。不但如是，理解和分析数量与空间的关系，也是数学的特征，所以是数学特有的任务。数学教育的目标既然在此，数学教科首先要综合和统一下列（甲），（乙）两方面：

　　但是，我国过去的数学教育呢？第一：教材全部是陈述的──十八世纪以前的，把近代数学，置之度外，以（乙）来看，是太古了。第二：内容太偏重论理性，忽视学生的心理过程；是不合于（丙）。第三：对于理解近代科学和社会生活，太少力量；这是没有硕到（甲）。无怪乎中学生的90% 以上，认为数学是干燥无味的，最不容易学习的。这种教育，当然是不会有成绩的。

　　到了今日，上述种种缺点，还未能十分清算。特别，上面所示的数字90% 仍未能减少，恐怕光是以“简化为精简”的改造政策，不能解决这个问题。“草案”根本没有硕到“精”的一字，“简化”也似乎缺乏原则性，然则应该如何精简？

　　（一）代数计算，是一种极便利的机械的技术。但是中等教育决无人人都做成代数计算熟练工人的要求，所以一切繁难的，非实质的计算；缺少真实性的问题都应该除去。三角法也应该如此处理。

　　（二）学习几何，应该从直观几何入门，大概是没有疑问的。然则如何处理论证几何学呢？几何学具有完整的体系，是论理的组成的，他有其他学科所不能及的美观和价值。但是，全部几何学教科书，往往充满着定理，命题，难题等等；除了少数的学生而外，大多数学生不能愉快接受。这是应该简化，应该想出办法来简化。笔者以为假如将公理的条数适宜的增多，一定可以免除冗长的毛病；将有些定理（普通教科书中的定理）改为公理，学者自负的专门家（几何学）未必以为然，但是教育上是有意义的，有好处的。假如又把普通几何教科书中的难题全部除去，学生学习的困难，一定可以减少。这样的简化，对于几何教育的目的，仍未有所损失；因为简化了几何学，不但仍保留着论理的精神，并且空间的基本事实，仍得一一了解之故。几何学全体的结构，既然已能理解，这方面的教育目的，不能不说是已经达到。对于有志深造的学生，要明白几何学的完全论理系统的时候，有了这个基础，也是事半功倍的。

　　由于（一）和（二）的两原则，将教材简化，中学数学一定可以减少 20% 到30%。

　　（三）微分积分的概念，是可以平易的直观的说明的（44）。中学生应该使他们理解速度与加速度的关系，二次函数的变化率，（简单）曲线形的面积的求法等等，从这些事项，微分和积分的概念，可以油然而生。添加了一点微积分的概念和计算法，便可应用到近代自然科学上去，使数学和产业技术有密切连系。

　　（四）添加社会经济方面的数学，使学生对于社会认识有帮助。例如统计法的一般──统计的量的平均、标准偏差、歪度、相关系数、由实验结果作成的实验式──就是这种材料。

　　（五）数学教育的核心，在乎养成函数观念。所谓函数观念，其义甚广，并非专指函数的解析表示，或函数的图表。比方。绍兴距杭州50 公里；上午七时，陈某从杭州出发向绍兴，赵某从绍兴出发向杭州；陈某每小时行六公里，赵某五公里，要问两人何时何地相逢？对于此问题，研讨两人在瞬间的地位，以求位置和时间的关系，这就是函数的观念。有人看了吉西略夫的初中代数学，因为书中没有函数和图表，就以为他并不用函数观念来写书；这是近视的看法，将函数观念的意义呆板化了的缘故。即使没有任何计算，假如能够理解量与量之间的关系，对于实际生活就有用处。又假如脱离了函数观念，学习了形式的代数，完整系统的形式几何，生活上有什么意义呢？固执的人们，硬说函数观念是属于高等数学的，至少初中数学里面可以没有，但是函数观念和吾人日常生活是不分离的。以函数观念做数学教育的核心，就是要数学和人生保持密切的连系。

　　（六）教授数学史，不但可以提高学生学习数学的兴趣，并且数学史料，也是数学一部分，学生应该知道他的大意的。关于中国的部分，尤可以增高爱国的情结。但数学史科，不宜以中国的为限。比方吉西略夫的初中代数，在第二章的未尾，说道：“在中古时代，印度数学家（45）才提出了正负数……的计算法则（620 年）。………但在欧洲大陆上，直到 1544 年，负数的意义，还不能完全领悟。………”云云。可见吉西略夫所采的史料，并不限于苏联。数学史既是数学的一部分，宜随处插入，不必设专科。

　　用（一）和（二）的办法简化；（三），（四），（五），（六）的办法去加精，这是笔者对精简原则的个人见解。

　　(8)E. Borel(1871-1956)长于函数论和或然率论，法国众议院议员，做海军部长。

　　(9)F. Klein(1849-1925)，是数学家，也是一位数学教育家，哥廷根大学教授。

　　(10)这部「新主义数学」森外三郎受日本文部省(教育部)的委托，译成日文，于1914成书，1916印行。

　　(16)意大利的学者恩利格斯(Enriqnes)说:“现今意大利的教育方针, 和古典主义教育精神相一致。”

　　(23)G. Monge(1746-1818)，因筑城设计，需要繁杂的算术计算，蒙日发明画法几何，可以避免计算。

　　(32)例如前述报告书第二部分中“形式陶冶的现状”一文(Blair著)。

　　(35)1920夏，陶知行在杭州第一师范学校，讲演新教育，也有这种论调。

　　(38)高等学校三年(有的是两年)毕业，其最后一年，程度大致相当于我国大学一年级。

　　(44)从前日本中等工业学校的微积分，就是取了这种体裁而得成效的。美，英，德，法的中学也是如此。有此等先例可援，(三)决非笔者的空想。参见前述德国新主义数学，法国波雷尔代数学。

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